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Ulrich Thiel

Research Fellow, Algebra Group, University of Sydney

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VK2UTL

Kommutative Algebra, WS 2016/2017

Overview

Inhalt

Grundlegende Techniken der kommutativen Algebra und ihren Bezügen zur algebraischen Geometrie: Ringe, Ideale, Moduln, Primideale, Spektrum, Lokalisation, Kettenbedingungen, Dimensionstheorie, Primärzerlegung, Ganzheit, Dedekind-Ringe.
Die Vorlesung legt Grundlagen für algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie, Computeralgebra und auch Darstellungstheorie.

Termine

Die Vorlesung findet Mittwochs 9:45–11:15 und Freitags 9:45–11:15 in Raum 8.143 statt. Die Übung findet Freitags 11:30–13:00 ebenfalls in Raum 8.143 statt.

Diskussion-Forum

Es gibt zur Vorlesung ein Diskussions-Forum.

Übungen

Übungsblätter: 1 (19.10.), 2 (21.10.), 3 (28.10.), 4 (04.11.), 5 (11.11.), 6 (18.11.), 7 (25.11.), Halbzeit-Test (02.12.), 8 (02.12.), 9 (09.12.), Musterlösung zu 9, 10 (16.12.), 11 (13.01.), 12 (20.01.), 13 (27.01.), 14 (03.02.)

Vorlesungsplan

Den folgenden Plan aktualisiere ich im Laufe des Semesters. Meine Notizen gibt es hier immer nach der Vorlesung.

# Termin Inhalt Notizen
1 19.10. 0. Überblick
1. Wiederholung: Ringe
1.1 Ringe und Morphismen
1.2 Einheiten
1.3 Unterringe
1.4 Algebren
1.5 Beispiele
1.6 Produkte
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2 21.10. 1.6 Produkte (Fortsetzung)
1.7 Ideale
1.8 Hauptidealringe
1.9 Quotienten
1.10 Ideale unter Morphismen
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3 26.10. 1.11 Nilpotente Elemente
1.12 Annihilatoren und Nullteiler
2. Primspektrum
2.1 Primideale
2.2 Maximale Ideale
2.3 Minimale Ideale
2.4 Radikale
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4 28.10. 2.4 Radikale (Fortsetzung)
2.5 Algebraische Geometrie (Ergänzung)
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5 02.11. 2.5 Zariski-Topologie pdf
6 04.11. 2.5 Zariski-Topologie (Fortsetzung)
3. Moduln
3.1 Moduln
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7 09.11. 3.2 Konstruktionen mit Moduln
3.3 Erzeugendensysteme
3.4 Freie Moduln
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8 11.11. 3.5 Endlich erzeugte Moduln pdf
9 16.11. 3.6 Tensorprodukte
3.7 Skalarerweiterung
3.8 Flache Moduln
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10 18.11. 4. Lokalisierung
4.1 Quotientenkörper
4.2 Lokalisierung von Ringen
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11 23.11. 4.2 Lokalisierung von Ringen (Fortsetzung)
4.3 Lokalisierung von Moduln
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12 25.11. 4.3 Lokalisierung von Moduln (Fortsetzung) pdf
13 30.11. 4.4 Lokale Eigenschaften pdf
14 02.12. 5. Ganzheit
5.1 Ganze Elemente
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15 07.12. 5.1 Ganze Elemente (Fortsetzung)
5.2 Normale Bereiche
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16 09.12. 5.3 Fasern
5.4 Primideale in ganzen Ringerweiterungen
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17 14.12. 6. Nullstellensatz pdf
18 16.12. 6. Nullstellensatz (Fortsetzung) pdf
19 21.12. 7. Kettenbedingungen
7.1 Allgemeines
7.2 Noethersche Moduln
7.3 Noethersche Ringe
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  23.12.–07.01. Weihnachtsferien  
20 11.01. 7.4 Artinsche Moduln
7.5 Länge von Moduln
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21 13.01. 7.6 Artinsche Ringe pdf
22 18.01. 8. Dimensionstheorie
8.1 Krull-Dimension
8.2 Krull-Dimension von Polynomringen über Körpern
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23 20.01. 8.3 Kodimension pdf
24 25.01. 8.4 Transzendenzgrad
8.5 Transzendenzgrad und Krull-Dimension
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25 27.01. 8.6 Bi-Äquidimensionalität von Polynomringen über Körpern
8.7 Krulls Hauptidealsatz
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26 01.02. 8.7 Krulls Hauptidealsatz (Fortsetzung) pdf
27 03.02. 8.7 Krulls Hauptidealsatz (Fortsetzung) pdf
28 08.02. 9. Dedekind Ringe
10. Primärzerlegung
10.1 Primärideale
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29 10.02. 10.2 Eindeutigkeit von Primärzerlegungen
10.3 Existenz von Primärzerlegungen
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Literatur

Hier ist eine (ungefilterte) Liste von Lehrbüchern über die Grundlagen der kommutativen Algebra:

  • M. Atiyah and I. Macdonald, Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
  • N. Bourbaki, Commutative algebra. Chapters 1–7. Elements of Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
  • D. Eisenbud, Commutative Algebra. Graduate Texts in Mathematics, 150. Springer-Verlag, 1995.
  • H. Matsumura, Commutative ring theory. Translated from the Japanese by M. Reid. Second edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 8. Cambridge University Press, 1989.
  • M. Nagata, Local rings. Corrected reprint. Robert E. Krieger Publishing Co., Huntington, 1975.
  • R. Sharp, Steps in commutative algebra. Cambridge University Press, 1990.
  • Stacks project

Die (meiner Meinung nach) für den Einstieg nützlichsten Bücher sind die von Atiyah–Macdonald (sehr knapp, enthält aber trotzdem eigentlich alles) und von Eisenbud (sehr ausführlich und mit vielen Kommentaren zu geometrischen Bezügen; für den Anfang vielleicht schon etwas zu viel…). Das Buch von Sharp kannte ich nicht vor der Vorlesung, ich finde es aber auch sehr nützlich, denn es ist etwas ausführlicher geschrieben als Atiyah–Macdonald. Wem also Atiyah–Macdonald etwas zu knapp und schnell ist, sollte es hiermit versuchen. Bourbaki ist sehr allgemein und wenig motivierend, daher für den Anfang wahrscheinlich schwierig zu lesen, später aber eine sehr nützliche Referenz.